Question

定义：若在上为增函数，则称为“k次比增函数”，其中. 已知，其中e为自然对数的底数.

   （1）若是“1次比增函数”，求实数a的取值范围；

   （2）当时，求函数在上的最小值；

   （3）求证：.

Answer 1

【解析】：（1）由题意知上为增函数，因为在上

恒成立.又，则在上恒成立，

即在上恒成立.   而当时，，所以，

           于是实数a的取值范围是.………………………………4分

           （2）当时，，则.

            当，即时，；

当，即时，.

            则的增区间为（2，＋∞），减区间为（－∞，0），（0，2）.……6分

                因为，所以，

                ①当，即时，在[]上单调递减，

                所以.

                ②当，即时，在上单调递减，

在上单调递增，所以.

③当时，在[]上单调递增，所以.

综上，当时，；

当时，；

当时，.…………………………8分

          （3）由（2）可知，当时，，所以，

                可得………………………………10分

                于是