Question

2．已知四点A（x，0），B（2x，1），C（2，x），D（6，2x）．
（1）求实数x，使向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{CD}$共线；
（2）当向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{CD}$共线时，A，B，C，D四点是否存在同一直线上？

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{AB}$=（x，1），$\overrightarrow{CD}$=（4，x），利用向量共线定理解出x．
（2）取x=2时，A（2，0），B（4，1），C（2，2），D（6，4），直线AC⊥x轴，而点B，D不在直线AC上，即可判断出四点共线．取x=-2时，A（-2，0），B（-4，1），C（2，-2），D（6，-4），直线AB的方程为：x+2y+2=0．验证点B，D是否满足直线AB的方程，即可判断出结论．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}$=（x，1），$\overrightarrow{CD}$=（4，x），
∵$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{CD}$共线，∴x²-4=0，解得x=±2．
∴当x=±2时，向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{CD}$共线．
（2）取x=2时，A（2，0），B（4，1），C（2，2），D（6，4），直线AC⊥x轴，而点B，D不在直线AC上，因此四点不共线．
取x=-2时，A（-2，0），B（-4，1），C（2，-2），D（6，-4），直线AB的方程为y-0=$\frac{1-0}{-4-（-2）}$（x+2），化为：x+2y+2=0．
点B，D满足直线AB的方程，因此四点共线．

点评 本题考查了向量共线定理、向量共线与直线平行的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．