Question

17．已知tanα，tanβ是方程x²-2x-4=0的两个根，求
（1）$\frac{2sin（α+β）-3cos（α+β）}{sin（α+β）+cos（α+β）}$
（2）sin²（α+β）-2sin（α+β）cos（α+β）+3的值．

Answer 1

分析 （1）根据根与系数之间的关系得到tanα+tanβ和tanαtanβ的值，利用同角三角函数基本关系式，两角和的正切公式进行计算即可．
（2）利用同角三角函数基本关系式可求sin2（α+β），cos2（α+β）的值，利用二倍角公式即可计算求值．

解答 解：（1）∵tanα，tanβ是方程x²-2x-4=0的两个实数根，
∴tanα+tanβ=2，
tanαtanβ=-4，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{2}{1+4}$=$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{2sin（α+β）-3cos（α+β）}{sin（α+β）+cos（α+β）}$=$\frac{2tan（α+β）-3}{tan（α+β）+1}$=$\frac{2×\frac{2}{5}-3}{\frac{2}{5}+1}$=-$\frac{11}{7}$．
（2）∵tan（α+β）=$\frac{2}{5}$，
∴sin2（α+β）=$\frac{2tan（α+β）}{1+ta{n}^{2}（α+β）}$=$\frac{20}{29}$，
cos2（α+β）=$\frac{1-ta{n}^{2}（α+β）}{1+ta{n}^{2}（α+β）}$=$\frac{21}{29}$
∴sin²（α+β）-2sin（α+β）cos（α+β）+3
=$\frac{1-cos2（α+β）}{2}$-sin2（α+β）+3
=$\frac{1-\frac{21}{29}}{2}$-$\frac{20}{29}$+3
=$\frac{11}{5}$．

点评 本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，两角和的正切公式的应用，利用根与系数之间的关系求出tanα+tanβ，tanαtanβ的值是解决本题的关键，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．