Question

12．对于任意的非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$若满足$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$），$\overrightarrow{b}$⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），则2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 不妨设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（x，y），非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$若满足$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$），$\overrightarrow{b}$⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），可得$\overrightarrow{a}•$$（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）$=1-2x=0，$\overrightarrow{b}$•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=x（2-x）-y²=0，联立解得x，y，再利用向量夹角公式即可得出．

解答 解：不妨设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（x，y），
∵非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$若满足$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$），$\overrightarrow{b}$⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），
∴$\overrightarrow{a}•$$（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）$=1-2x=0，
$\overrightarrow{b}$•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=x（2-x）-y²=0，
联立解得x=$\frac{1}{2}$，y=$±\frac{\sqrt{3}}{2}$．
当$\overrightarrow{b}$=$（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$时，2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=$（\frac{3}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$，$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$=$（0，-\sqrt{3}）$．
$cos＜2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}，\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}＞$=$\frac{（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）}{|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$，∴2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$．
同理可得：当$\overrightarrow{b}$=$（\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$时，2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．