Question

7．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=$\frac{3}{x}$-1
（Ⅰ）求f（0），f（-2）的值
（Ⅱ）用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据f（x）为R上的奇函数便可得到f（0）=0，而由x＞0时的解析式便可求出f（2）=$\frac{1}{2}$，从而便得出f（-2）的值；
（Ⅱ）根据减函数的定义，设任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，通分，从而得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{3（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，证明f（x₁）＜f（x₂）便可得到f（x）在（0，+∞）上为减函数．

解答 解：（Ⅰ）f（x）是定义在R上的奇函数；
∴f（0）=0；
x＞0时，f（x）=$\frac{3}{x}-1$，∴$f（2）=\frac{1}{2}$；
∴$f（-2）=-f（2）=-\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）证明：设x₁＞x₂＞0，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{3}{{x}_{1}}-\frac{3}{{x}_{2}}=\frac{3（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$；
∵x₁＞x₂＞0；
∴x₂-x₁＜0，x₁x₂＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．

点评 考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，减函数的定义，以及根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分．