Question

13．若{a_n}为等差数列，且a₁²+a₄²=3，则a₃的最大值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{5}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{15}}{3}$

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，由于a₁²+a₄²=3，可得$（{a}_{3}-2d）^{2}+（{a}_{3}+d）^{2}$=3，化为：5d²-2a₃d+$2{a}_{3}^{2}$-3=0，利用△≥0解出即可得出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₁²+a₄²=3，∴$（{a}_{3}-2d）^{2}+（{a}_{3}+d）^{2}$=3，化为：5d²-2a₃d+$2{a}_{3}^{2}$-3=0，
则△=$4{a}_{3}^{2}$-4×5$（2{a}_{3}^{2}-3）$≥0，
解得：a₃≤$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
则a₃的最大值为$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其性质、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．