Question

4．）已知函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x-1}$（α∈R）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）内有极值．
   ①求实数α取值范围：
   ②若x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞）求证：f（x₂）-f（x₁）＞e+2-$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间即可；
（2）①函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞），求导函数，利用函数f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）内有极值，可得f′（x）=0在（0，$\frac{1}{e}$）内有解，令g（x）=x²-（a+2）x+1=（x-α）（x-β）根据αβ=1，可设0＜α＜$\frac{1}{e}$，则β＞e，从而可求实数a的取值范围；
②求导函数确定函数f（x）的单调性，进而由x₁∈（0，1），可得f（x₁）≤f（α）=lnα+$\frac{a}{α-1}$；由x₂∈（1，+∞），可得f（x₂）≥f（β）=lnβ+$\frac{a}{β-1}$，所以f（x₂）-f（x₁）≥f（β）-f（α），又f（β）-f（α ）=2lnβ+β-$\frac{1}{β}$．记h（β）=2lnβ+β-$\frac{1}{β}$（β＞e），可得h（β）在（0，+∞）上单调递增，从而问题得证．

解答 解：（1）函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞）
求导函数f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{（x-1）}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-（a+2）x+1}{{x（x-1）}^{2}}$，
令g（x）=x²-（a+2）x+1，x∈（0，1）∪（1，+∞），
对称轴x=$\frac{a+2}{2}$＜0即a＜-2时，f′（x）＞0在（0，1），（1，+∞）恒成立，
∴a＜-2时，f（x）在定义域递增，
-2≤a≤0时，△=（a+2）²-4=a²+4a≤0，f′（x）≥0恒成立，
∴-2≤a≤0时，f（x）在定义域递增，
a＞0时，△=a²+4a＞0，
解方程f′（x）=0，解得：x₁=$\frac{a+2-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$＜1，x₂=$\frac{a+2+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$＞1，
∴f′（x）在（0，$\frac{a+2-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$）大于0，在（$\frac{a+2-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，1）小于0，在（1，$\frac{a+2+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$）小于0，
在（$\frac{a+2+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，+∞）大于0，
∴f（x）在（0，$\frac{a+2-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$）递增，在（$\frac{a+2-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，1），（1，$\frac{a+2+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$）递减，
在（$\frac{a+2+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，+∞）递增，
综上：a≤0时，f（x）在定义域递增，
a＞0时，f（x）在（0，$\frac{a+2-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$）递增，在（$\frac{a+2-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，1），（1，$\frac{a+2+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$）递减，
在（$\frac{a+2+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，+∞）递增；
（2）①∵函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x-1}$在（0，$\frac{1}{e}$）内有极值
∴f′（x）=0在（0，$\frac{1}{e}$）内有解，令g（x）=x²-（a+2）x+1=（x-α）（x-β）
∵αβ=1，不妨设0＜α＜$\frac{1}{e}$，则β＞e
∵g（0）=1＞0，
∴g（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{{e}^{2}}$-$\frac{a+2}{e}$+1＜0，
∴a＞e+$\frac{1}{e}$-2；
②证明：由f′（x）＞0，可得0＜x＜α或x＞β；由f′（x）＜0，可得α＜x＜1或1＜x＜β
∴f（x）在（0，α）内递增，在（α，1）内递减，在（1，β）内递减，在（β，+∞）递增
由x₁∈（0，1），可得f（x₁）≤f（α）=lnα+$\frac{a}{α-1}$，
由x₂∈（1，+∞），可得f（x₂）≥f（β）=lnβ+$\frac{a}{β-1}$，
∴f（x₂）-f（x₁）≥f（β）-f（α）
∵αβ=1，α+β=a+2
∴f（β）-f（α ）=2lnβ+a×$\frac{α-β}{（β-1）（α-1）}$=2lnβ+a×$\frac{\frac{1}{β}-β}{2-（a+2）}$=2lnβ+β-$\frac{1}{β}$，
记h（β）=2lnβ+β-$\frac{1}{β}$（β＞e）
则h′（β）=$\frac{2}{β}$+1+$\frac{1}{{β}^{2}}$＞0，h（β）在（0，+∞）上单调递增
∴h（β）＞h（e）=e+2-$\frac{1}{e}$，
∴f（x₂）-f（x₁）＞e+2-$\frac{1}{e}$．

点评 本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的极值与单调性，考查不等式的证明，综合性比较强．