Question

9．设f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$，则f（$\frac{1}{2008}$）+f（$\frac{2}{2008}$）+…+f（$\frac{2007}{2008}$）=$\frac{2007}{2}$．

Answer 1

分析 当自变量的和为1时，函数值的和为常数1．故只需两两组合即可计算出结果．

解答 解：设a+b=1，则f（a）+f（b）=$\frac{{4}^{a}}{{4}^{a}+2}$+$\frac{{4}^{b}}{{4}^{b}+2}$=$\frac{{4}^{a}（{4}^{b}+2）+{4}^{b}（{4}^{a}+2）}{（{4}^{a}+2）（{4}^{b}+2）}$=$\frac{4+2×{4}^{a}+4+2×{4}^{b}}{4+2×{4}^{a}+2×{4}^{b}+4}$=1．
∴f（$\frac{1}{2008}$）+f（$\frac{2}{2008}$）+…+f（$\frac{2007}{2008}$）=[f（$\frac{1}{2008}$）+f（$\frac{2007}{2008}$）]+[f（$\frac{2}{2008}$）+f（$\frac{2006}{2008}$）]+…+[f（$\frac{1003}{2008}$）+f（$\frac{1005}{2008}$）]+f（$\frac{1004}{2008}$）
=1×1003+f（$\frac{1}{2}$）=1003+$\frac{1}{2}$=$\frac{2007}{2}$．
故答案为：$\frac{2007}{2}$．

点评 本题考查了指数幂运算，函数的性质及应用，寻找函数的特点是解题关键．