Question

14．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若$bsinA-\sqrt{3}acosB=0$，且b²=ac，则$\frac{a+c}{b}$的值为2．

Answer 1

分析 由已知结合正弦定理求得$tanB=\sqrt{3}$，进一步求得角B，再由b²=ac结合余弦定理变形求得$\frac{a+c}{b}$的值．

解答 解：在△ABC中，由正弦定理，$bsinA-\sqrt{3}acosB=0$可化为$sinB-\sqrt{3}cosB=0$，即$tanB=\sqrt{3}$，
又B∈（0，π），于是$B=\frac{π}{3}$，
又b²=ac，∴b²=a²+c²-2accosB=${a}^{2}+{c}^{2}-2ac×\frac{1}{2}={a}^{2}+{c}^{2}-ac$，
可得4b²=（a+c）²，于是$\frac{a+c}{b}=2$．
故答案为：2．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了灵活变形能力，是中档题．