Question

2．已知复数z=x+（x-a）i，若对任意实数x∈（1，2），恒有|z|＞|z+i|，则实数a的取值范围为（　　）

• A． $（{-∞，\frac{1}{2}}]$
• B． $（{-∞，\frac{1}{2}}）$
• C． $[\frac{5}{2}，+∞）$
• D． $（{\frac{3}{2}，+∞}）$

Answer 1

分析 求出复数的模，把|z|＞|z+i|转化为a$＜x+\frac{1}{2}$（1＜x＜2）恒成立，求出x+$\frac{1}{2}$的范围得答案．

解答 解：∵z=x+（x-a）i，且对任意实数x∈（1，2），恒有|z|＞|z+i|，
∴$\sqrt{{x}^{2}+（x-a）^{2}}$＞$\sqrt{{x}^{2}+（x-a+1）^{2}}$对任意实数x∈（1，2）恒成立．
即2（x-a）+1＜0对任意实数x∈（1，2）恒成立．
∴a＞x+$\frac{1}{2}$（1＜x＜2）．
∵x+$\frac{1}{2}$∈（$\frac{3}{2}，\frac{5}{2}$），
∴a≥$\frac{5}{2}$．
∴实数a的取值范围为[$\frac{5}{2}，+∞$）．
故选：C．

点评 本题考查复数模的求法，考查恒成立问题的求解方法，运用了分离变量法，是中档题．