Question

若F₁、F₂分别为双曲线 －＝1下、上焦点，O为坐标原点，P在双曲线的下支上，点M在上准线上，且满足：，
（1）求此双曲线的离心率；
（2）若此双曲线过N(，2)，求此双曲线的方程
（3）若过N(，2)的双曲线的虚轴端点分别B₁，B₂(B₂在x轴正半轴上)，点A、B在双曲线上，且，求时，直线AB的方程．

Answer 1

(1) e="2;(2)" 双曲线的方程为－＝1;(3) AB的方程为y=±(x－3) .

(1) ，∴PF₁OM为平行四边形，
又知M在∠PF₁O的角平分线上，
∴四边形PF₁OM为菱形，且边长为＝c
∴＝2a+＝2a+c，由第二定义＝e即＝e，∴+1＝e且e>1
∴e="2"
(2)由e=2，∴c=2a即b²=3a²，双曲线方程为 －＝1
又N(，2)在双曲线上，∴－＝1，∴a²＝3∴双曲线的方程为－＝1;
(3)由知AB过点B₂，若AB⊥x轴，即AB的方程为x=3，此时AB₁与BB₁不垂直；设AB的方程为y=k(x－3)代入－＝1得
(3k²－1)x²－18k²x+27k²－9="0"
由题知3k²－1≠0且△>0即k²> 且k²≠，
设交点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，＝(x₁+3，y₁)，＝(x₂+3，y₂)，
∵，∴＝0即x₁x₂+3(x₁+x₂)+9+y₁y₂＝0
此时x₁+x₂＝，x₁·x₂=9，
y₁y₂＝k²(x₁－3) (x₂－3)＝k²[x₁x₂－3(x₁+x₂)+9]= k²[18－]＝－
∴9＋3＋9－＝0，∴5 k²＝1，∴k＝±
∴AB的方程为y=±(x－3) .