Question

9．已知椭圆的右焦点F（m，0），左、右准线分别为l₁：x=-m-1，l₂：x=m+1，且l₁，l₂分别与直线y=x相交于A，B两点．
（1）若离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求椭圆的方程；
（2）当$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{FB}$＜7时，求椭圆离心率的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），由准线方程为：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$=m+1，即可求得a²=m（m+1），b²=m，由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可求得b=c，求得m的值，代入求得a和b的值，即可求得椭圆方程；
（2）A（-m-1，-m-1），B（m+1，m+1），求得$\overrightarrow{AF}$=（2m+1，m+1），$\overrightarrow{FB}$=（1，m+1），由$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{FB}$=m²+4m+2＜7，即可求得0＜m＜1，由离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{m}{\sqrt{m（m+1）}}$=$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{m}}}$，即可求得椭圆离心率的取值范围．

解答 解：（1）椭圆的右焦点F（m，0），故焦点在x轴上，设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
∴c=m，准线方程为：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$=m+1，
∴a²=m（m+1），b²=m   …2分
由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得b=c，从而m=1，…4分
故a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$； …6分
（2）由题意可知：A（-m-1，-m-1），B（m+1，m+1），
∴$\overrightarrow{AF}$=（2m+1，m+1），$\overrightarrow{FB}$=（1，m+1），…9分
故$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{FB}$=2m+1+（m+1）²=m²+4m+2＜7，
解得：0＜m＜1，…12分
由离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{m}{\sqrt{m（m+1）}}$=$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{m}}}$，…14分
故所求的离心率范围为（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．…16分．

点评 本题考查椭圆方程及简单几何性质，考查向量数量积的坐标表示，考查计算能力，属于中档题．