Question

19．在边长为2的正三角形ABC中，$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{CA}$=3$\overrightarrow{CE}$，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow a，\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow b$．
（Ⅰ）用$\overrightarrow a，\overrightarrow b$表示$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{BE}$；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BE}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意，D为BC中点，利用中点公式求出$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}$；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进行向量的乘法运算即可．

解答 解：（Ⅰ）由条件知$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}）=\frac{1}{2}（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）$，
$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow b-\overrightarrow a$．…（5分）
（Ⅱ）由题意得$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|=2，\overrightarrow a•\overrightarrow b=2$
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）•（{\frac{2}{3}\overrightarrow b-\overrightarrow a}）$=$\frac{1}{2}（{\frac{2}{3}{{\overrightarrow b}^2}-{{\overrightarrow a}^2}-\frac{1}{3}\overrightarrow a•\overrightarrow b}）$=$\frac{1}{2}（{\frac{2}{3}×4-4-\frac{1}{3}×2}）=-1$．…（10分）

点评 本题考查了平面向量三角形法则的运用以及向量的数量积计算；属于基础题．