Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosωx，-cosωx），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$sinωx，cosωx），其中ω＜0为常数，函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，若函数f（x）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）若当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，不等式|k+f（x）|＜4恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式与差角公式化简f（x），根据周期公式得出ω；
（2）求出f（x）的最值，得出4-f（x）和-4-f（x）的最值，从而得出k的范围．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-cos²ωx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin 2ωx-$\frac{1+cos2ωx}{2}$=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$．
因为f（x）的最小正周期为π，则$\frac{2π}{|2ω|}$=π，即|ω|=1．
又ω＜0，所以ω=-1．
（2）由|k+f（x）|＜4得，-4＜k+f（x）＜4，即-4-f（x）＜k＜4-f（x）．
据题意，当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，[-4-f（x）]_max＜k＜[4-f（x）]_min
因为ω=-1，
则f（x）=sin（-2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$=-sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$．
当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）_max=0，f（x）_min=-$\frac{3}{2}$．
∴[-4-f（x）]_max=-4+$\frac{3}{2}$=-$\frac{5}{2}$，[4-f（x）]_min=4，
故k的取值范围是（-$\frac{5}{2}$，4）．

点评 本题考查了三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．