Question

14． 如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=6，AB=2，M，N分别是棱B₁B，BC的中点．
（1）用向量方法证明：A₁M∥平面D₁AN；
（2）求A₁D₁与平面D₁AN所成角的正弦值；
（3）在平面AA₁B₁B内是否存在一点P，使得PD⊥平面D₁AN？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系利用向量法能证明A₁M∥平面D₁AN．
（2）求出 $\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}$=（0，2，0），利用向量法能求出A₁D₁与平面D₁AN所成角的正弦值．
（3）设P（x，0，z），则$\overrightarrow{DP}$=（x，-2，z），由PD⊥平面D₁AN，利用向量法能求出结果．

解答 证明：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），A₁（0，0，6），D₁（0，2，6），M（2，0，3），N（2，1，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}M}$=（2，0，-3），$\overrightarrow{AN}$=（2，1，0），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（0，2，6），
设平面D₁AN的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AN}=2x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=2y+6z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{n}$=（3，-6，2），
∵$\overrightarrow{{A}_{1}M}•\overrightarrow{n}$=0，A₁M?平面D₁AN，
∴A₁M∥平面D₁AN．
解：（2）$\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}$=（0，2，0），
设A₁D₁与平面D₁AN所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{12}{\sqrt{4}•\sqrt{49}}$=$\frac{6}{7}$，
∴A₁D₁与平面D₁AN所成角的正弦值为$\frac{6}{7}$．
（3）设P（x，0，z），∵D（0，2，0），则$\overrightarrow{DP}$=（x，-2，z），
∵PD⊥平面D₁AN，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{AN}=2x-2=0}\\{\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=4+6z=0}\end{array}\right.$，解得x=1，z=-$\frac{2}{3}$，∴P（1，0，-$\frac{2}{3}$），
∴在平面AA₁B₁B内存在一点P，使得PD⊥平面D₁AN，
点P为矩形AA₁B₁B内距离AA₁有1个单位长度，距离AB有$\frac{2}{3}$个单位长度的点．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查满足条件的点的位置的确定，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．