Question

已知函数f（x）是偶函数，且x≤0时，f（x）=

1+x

1-x

．
（1）求当x＞0时f（x）的解析式；   
（2）设a≠0且a≠±1，证明：f（a）=-f（

1

a

）．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数f（x）是偶函数，x≤0时，f（x）=

1+x

1-x

，设x＞0，则-x＜0，转化即可得出解析式，
（2）①a＞0时，②a＜0时，利用函数解析式代入讨论即可证明．

解答： 解：（1）设x＞0，则-x＜0，x≤0时，f（x）=

1+x

1-x

，
∵函数f（x）是偶函数，
∴f（x）=f（-x）
∴f（x）=f（-x）=

1-x

1+x

，
即当x＞0时f（x）=

1-x

1+x

．
（2）f（x）=

1+x 1-x ，x≤0 1-x 1+x ，x＞0

，
①a＞0时，f（a）=

1-a

1+a

，-f（

1

a

）=-

1- 1 a

1+ 1 a

=-

a-1

a+1

=f（a），
②a＜0时，f（a）=

1+a

1-a

，-f（

1

a

）=-

1+ 1 a

1- 1 a

=-

a+1

a-1

=f（a），
综上：a≠0且a≠±1，f（a）=-f（

1

a

）．

点评：本题考查了函数解析式的求解，运用函数的性质，解析式证明等式问题，分类讨论，属于中档题．