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    在斜三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若acosB-bcosA=
    1
    3
    c．
    （1）证明：tanA=2tanB；
    （2）求tan（A-B）的最大值．
    考点：正弦定理,两角和与差的正弦函数,两角和与差的正切函数
    专题：解三角形
    分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理即可得证；
    （2）由tanA=2tanB，利用两角和与差的正切函数公式化简tan（A-B），并利用基本不等式求出最大值即可．
    解答： 解：（1）把acosB-bcosA=
    1
    3
    c，利用正弦定理化简得：sinAcosB-sinBcosA=
    1
    3
    sinC=
    1
    3
    sin（A+B），
    整理得：3sinAcosB-3cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB=2cosAsinB，
    ∵cosAcosB≠0，
    ∴
    sinAcosB
    cosAcosB
    =
    2cosAsinB
    cosAcosB
    ，即tanA=2tanB；
    （2）由（1）得到tanA=2tanB＞0，即tanB＞0，
    可得tan（A-B）=
    tanA-tanB
    1+tanAtanB
    =
    tanB
    1+2tan2B
    =
    1
    1
    tanB
    +2tanB
    ≥2
    		2
    ，
    则tan（A-B）的最大值为
    		2
    4
    ．
    点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦、正切函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
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    1+x
    1-x
    ．
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    1
    a
    ）．

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    2
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    2
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    1
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    1
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    +
    1
    2
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    A、3
    B、
    1
    3
    C、2
    D、
    1
    2

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    ．

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