Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）=-x²-3x，则不等式f（x-1）＞-x+4的解集是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：首先，根据函数f（x）是奇函数，求解当x＞0时，函数的解析式，然后，分别令x-1≤0和x-1＞0两种情形进行讨论，求解不等式的解集．

解答： 解：∵函数f（x）是奇函数，
令x＞0，则-x＜0，
∴f（-x）=-（-x）²+3x=-x²+3x=-f（x），
∴f（x）=x²-3x，
∴f(x)=

-x2-3x，  x≤0 x2-3x     ，x＞0

，
当x-1≤0，即x≤1，
f（x-1）=-（x-1）²-3（x-1）=-x²-x+2，
∵f（x-1）＞-x+4，
∴x²＜-2（舍去）
当x-1＞0，即x＞1，
f（x-1）=（x-1）²-3（x-1）=x²-_⁵x+4，
∵f（x-1）＞-x+4
∴x²-4x＞0
∴x＜0或x＞4，又x＞1，
∴x＞4．
故答案为：（4，+∞）．

点评：本题重点考察了函数为奇函数，且解析式为分段函数问题，不等式的性质等知识，考查比较综合，属于中档题．