Question

【题目】已知椭圆G：的右焦点为F，过F的直线l交椭圆于A、B两点，直线与l不与坐标轴平行，若AB的中点为N，O为坐标原点，直线ON交直线x＝3于点M.

（1）求证：MF⊥l；

（2）求的最大值，

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）由题意的方程可得右焦点F的坐标，由题意设直线l的方程与椭圆联立可得两根之和，求出AB的中点N的坐标，进而可得直线ON的斜率，求出直线ON的方程，令x＝3可得M的纵坐标，即求出M的坐标，求出直线MF的斜率可证得与直线l的斜率互为负倒数，所以可证得MF垂直直线l；

（2）由（1）MF，AB的值，求出两者之比，由均值不等式可得的最大值.

（1）由椭圆的方程开发右焦点F的坐标（2，0），

有题意设直线AB的方程为x＝my+2，设A（x1，y2），B（x2，y2），

整理可得（3+m2）y2+4my﹣2＝0，y1+y2，y1y2，

所以AB的中点N的纵坐标yN，代入直线AB的方程可得N的横坐标xN2，即N（，），

所以kON，

所以直线ON的方程为：yx，令x＝3，所以y＝﹣m，

即M（3，﹣m），

所以kMFm，而，所以kMF＝﹣1，

所以MF⊥l；

（2）由（1）可得|MF|，

|AB||y1﹣y2|，

所以，当且仅当，即m＝±1时取等号.

所以的最大值为.