Question

【题目】在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的参数方程为（为参数，），曲线的极坐标方程为：．且两曲线与交于两点．

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）设，若成等比数列，求的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）由曲线的参数方程，消参能求出曲线的直角坐标方程；曲线的极坐标方程转化为，由此能求出曲线的直角坐标方程．

（2）设直线的参数方程为（为参数），将参数方程代入曲线，得，由此能求出实数的值．

（1）由曲线的参数方程为（为参数，），

消参得曲线的直角坐标方程为．

∵曲线的极坐标方程为：．

∴，

∴曲线的直角坐标方程为．

（2）由直线过点，且倾斜角为，

设直线的参数方程为（为参数），

将参数方程代入曲线，得：

，

，解得，

且，，

由成等比数列，得，

由直线参数方程的几何意义知

，即

∵，，

化简为，

解得或（舍），

∴实数的值为