Question

【题目】已知为等差数列，为等比数列，公比为.令.

（1）若.

①当，求数列的通项公式；

②设，，试比较与的大小？并证明你的结论.

（2）问集合中最多有多少个元素？并证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）①；②，证明见解析；（2）3个，证明见解析.

【解析】

（1）①利用数列基本量，结合已知条件，即可容易求得结果；

②用作差法，结合代数运算，即可证明和判断；

（2）将问题转化为有多少个解的问题，构造函数，利用导数判断函数单调性，从而问题得解.

（1）由，得，.

设数列公差为，数列公比为，由，故.

①因为，，，所以数列的公比，所以，.

②答：.证明如下：

因为，，，所以

.

所以.

（2）不妨设，，由.

令，，，原问题转化为关于的方程

，①

最多有多少个解.

下面我们证明：当时，方程①最多有2个解；时，方程②最多有3个解.

当时，考虑函数，则，

如果，则为单调函数，故方程①最多只有一个解；

如果，且不妨设由得有唯一零点，

于是当时，恒大于0或恒小于0，

当时，恒小于0或恒大于0，

这样在区间与上是单调函数，

故方程①最多有2个解.

当时，如果.

如果为奇数，则方程①变为，

显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①.

如果为偶数，则方程①变为

，由的情形，上式最多有2个解，

即满足①的偶数最多有2个.

这样，最多有3个正数满足方程①.

对于，同理可以证明，方程①最多有3个解.

综上所述，集合中的元素个数最多有3个.

再由当，，则，，，.

由此，可知集合中的元素个数最多有3个.