【题目】已知函数
(1)讨论的单调性;
(2)若方程有两个不相等的实数根,求证:
【答案】(1)见解析;(2)证明见解析
【解析】
(1)对函数进行求导,根据的不同取值,结合函数的定义域,以及二次方程根的情况进行分类讨论求解即可;
(2)令,由方程
有两个不相等的实数根,问题转化为函数
有两个零点,对
求导,然后根据
的不同取值,分类讨论最后求出
的取值范围,要证明
,可以通过构造新函数,求导,利用新函数的单调性进行求解即可.
(1)易知的定义域为
,且
,
时,
在
上恒正,所以
在
上单调递增,
时,对于
,
①当,即
时,
,
在
上是增函数;
②当,即
时,
有两个正根,
所以,
,
单调递增,
,
,
单调递减
综上,时,
在
上是增函数,
时,
在
和
上是增函数,在
上是减函数
(2)令,
方程
有两个不相等的实根
函数
有两个零点,
由
定义域为
且
①当时,
恒成立,
在
上单调递增,则
至多有一个零点,不符合题意;
②当时,
得
,
在
上单调递增,在
上单调递减
要使
有两个零点,则
,由
解得
此时
易知当时
,
,
令,所以
,
时
,
在
为增函数,
在
为增函数,
,
所以,即
所以
函数
在
与
各存在一个零点
综上所述,.
∴证明证明
时,
成立
设,则
易知在
上递减,
,
在
上单调递减
,
所以.
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【题目】已知函数,
,其中
为自然对数的底数.
(Ⅰ)求曲线在点
处的切线方程;
(Ⅱ)若对任意,不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)试探究当时,方程
的解的个数,并说明理由.
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【题目】已知非单调数列{an}是公比为q的等比数列,a1=,其前n项和为Sn(n∈N*),且满足S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式和前n项和Sn;
(2)bn=+
,求数列{bn}的前n项和Tn.
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【题目】某消费者协会在3月15号举行了以“携手共治,畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动,着力提升消费者维权意识.组织方从参加活动的1000名群众中随机抽取n名群众,按他们的年龄分组:第1组,第2组
,第3组
,第4组
,第5组
,其中第1组
有6人,得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求m,n的值,并估计抽取的n名群众中年龄在的人数;
(2)已知第1组群众中男性有2人,组织方要从第1组中随机抽取3名群众组成维权志愿者服务队,求至少有两名女生的概率.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),若以直角坐标系中的原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
(
为实数.)
(1)求曲线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)若曲线与曲线
有公共点,求
的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=sin(2x+)+cos(2x﹣
)+cos2x﹣sin2x,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)求函数f(x)在区间[﹣]上的最大值和最小值.
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