Question

12．函数y=f（x）的图象上不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）处的切线的斜率分别是k_A，k_B，规定φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$叫做曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”．设曲线y=e^x上不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁-x₂=1，若t•φ（A，B）＜1恒成立，试求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 求出y′=e^x，由定义求出两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）之间的“弯曲度”，代入t•φ（A，B）＜1化简，根据恒成立求出实数t的取值范围．

解答 解：由y=e^x得y′（x）=e^x，
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）为曲线y=e^x上两点，且x₁-x₂=1，
∴φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$=$\frac{{|e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}|}{\sqrt{1+（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}}$，
∵t•φ（A，B）＜1恒成立，∴t＜$\sqrt{\frac{1}{（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}+1}$，
∵$\sqrt{\frac{1}{（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}+1}$＞1，∴t≤1，
则实数t的取值范围是（-∞，1]．

点评 本题考查新定义的函数的性质与应用问题，导数的几何意义，两点间的距离公式，以及恒成立问题，解题时应根据函数的新定义的内容进行分析、判断，属于中档题．