Question

17．已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0，AC边上的高BH所在直线的方程为x-2y-5=0．求
（1）求点H的坐标；
（2）若$\overrightarrow{BP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BH}）$，求直线BP的方程．

Answer 1

分析 （1）由两直线相互垂直时的斜率的关系进行解答；
（2）结合已知条件得到点P为AH的中点，易求点P的坐标；结合点M为AB的中点推知点M的坐标，将点M的坐标代入直线y=2x-5求得点B的坐标，由点B、H来求直线BH的方程．

解答 解：（1）∵点H在直线x-2y-5=0，则设H的坐标为$H（t，\frac{t}{2}-\frac{5}{2}）$．
∵BH⊥AC，
∴${k_{AH}}=\frac{{\frac{t}{2}-\frac{5}{2}-1}}{t-5}=-2$，得
$t=\frac{27}{5}$，
∴$H（\frac{27}{5}，\frac{1}{5}）$；
（2）∵$\overrightarrow{BP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BH}）$，P为AH的中点，
∴$P（\frac{26}{5}，\frac{3}{5}）$．
设$B（k，\frac{k}{2}-\frac{5}{2}）$，
∵M为AB的中点，则$M（\frac{5+k}{2}，\frac{{\frac{k}{2}-\frac{5}{2}+1}}{2}）$．
又M在直线y=2x-5，
代入得B（-1，-3），
则直线BH的方程为：18x-31y-75=0．

点评 考查学生掌握两直线垂直时满足斜率乘积为-1的条件，会求两直线的交点坐标，以及会根据斜率和一点坐标写出直线的一般式方程．