Question

已知函数f（x）的定义域R，当x＞0时，f（x）＞1，且对于任意的a，b∈R，恒有f（a+b）=f（a）×f（b），
（1）求f（0）的值；
（2）求证：当x＜0时，0＜f（x）＜1；
（3）求证：f（x）在区间（-∞，+∞）上是增函数．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令a=1，b=0，f（1）=f（1）f（0），进而得到f（0）=1
（2）由已知中：当x＞0时，f（x）＞1，可得x＞0时，-x＜0，令y=-x，可由（1）的结论，证得0＜f（x）＜1；
（3）设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，结合当x＜0时，0＜f（x）＜1，可得f（x₁）＜f（x₂），进而根据函数单调性的定义，可得函数f（x）在R上的单调性．

解答： （1）解：令a=1，b=0，得f（1）=f（1）f（0），
∵x＞0时，f（x）＞1，
∴f（0）＞0，
∴f（0）=1；
（2证明：令x＜0，则-x＞0，令y=-x，
得f（0）=f（x）f（-x），
得f（x）=

1

f(-x)

，
∵f（-x）＞1，
∴0＜f（x）＜1，
故当x＜0时，0＜f（x）＜1；
（3）证明：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则x₁-x₂＜0，∴0＜f（x₁-x₂）＜1，
∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）f（x₂）＜f（x₂），
∴函数f（x）在R上是单调递增函数．

点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的奇偶性与函数的单调性，函数恒成立问题，函数函数图象和性质的综合应用，难度中档．