Question

直线l过抛物线x²=4y的焦点，则l被抛物线截得的弦的中点轨迹方程是

 

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Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：依题意，设过抛物线x²=4y的焦点F的直线l的方程为：y-1=kx，与x²=4y联立，可得x²-4kx-4=0，设l与抛物线x²=4y交点为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，AB的中点为M（x，y），利用韦达定理，可求得

x=2k y=2k2+1

，消掉参数k即可得到抛物线截得的弦的中点轨迹方程．

解答： 解：抛物线x²=4y的焦点F（0，1），则过焦点F的直线l的方程为：y-1=kx，
由

y=kx+1 x2=4y

得：x²-4kx-4=0，
设l与抛物线x²=4y交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，AB的中点为M（x，y），
则x₁、x₂为方程x²-4kx-4=0的两个根，
所以x₁+x₂=4k=2x，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=4k²+2=2y，
整理得：

x=2k y=2k2+1

，消去k得：x²=2（y-1）．
故答案为：x²=2（y-1）．

点评：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查韦达定理的应用与消参法，属于中档题．