Question

已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三个条件：①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；③当x₁，x₂∈[0，1]且x₁+x₂∈[0，1]时，f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，则称函数f（x）为“友谊函数”．给出下列命题：
（1）“友谊函数”f（x）一定满足f（0）=0；
（2）函数y=log₂（x+1），y=2^x-1，y=2x²-x在[0，1]上都是“友谊函数”；
（3）“友谊函数”f（x）一定不是单调函数；
（4）若f（x）为“友谊函数”，假设存在x₀∈[0，1]使得f（x₀）∈[0，1]且f[f（x₀）]=x₀，则f（x₀）=x₀．
其中正确的命题的序号为

（1），（4）

（把所有正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析：利用“友谊函数”的定义，对（1）、（2）、（3）、（4）四个选项逐一分析即可．

解答：（1）∵f（x）是“友谊函数”，令x₁=x₂=0，则f（0+0）≥f（0）+f（0），即f（0）≤0，又对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0，
∴f（0）=0，即（1）正确；
（2）∵y=f（x）=log₂（x+1），
∴当x₁，x₂∈[0，1]且x₁+x₂∈[0，1]时，
假设f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，
则log₂（x₁+x₂+1）≥log₂（x₁+1）+log₂（x₂+1）=log₂（x₁+1）（x₂+1），
∵y=log₂（x）为增函数，
∴x₁+x₂+1≥（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1，
∴x₁x₂≤0，这是不可能的，
∴假设不成立，即函数y=log₂（x+1）在[0，1]不是“友谊函数”，故（2）错误；
（3）y=f（x）=2^x-1在[0，1]上是“友谊函数”，显然也是单调函数递增，故（3）错误；
下面给出证明：
∵当x≥0时，f（x）=2^x-1≥f（0）=2⁰-1=0，满足①；
f（1）=2¹-1=1，满足②；
当x₁，x₂∈[0，1]且x₁+x₂∈[0，1]时，
f（x₁+x₂）-f（x₁）-f（x₂）
=2x1+x2-1-（2x1-1）-（2x2-1）
=2x1+x2-2x1-2x2+1
=（2x1-1）（2x2-1）≥0，
∴f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），即③成立，
∴y=f（x）=2^x-1在[0，1]上是“友谊函数”．
（4）∵f（x）为“友谊函数”，依题意，任意给m，n∈[0，1]，
当m＜n时，必有n-m∈[0，1]，f（n-m）≥0，
∴f（n）=f[（n-m）+m]）≥f（n-m）+f（m）≥f（m），
又x₀∈[0，1]且f（x₀）∈[0，1]，f[f（x₀）]=x₀，
∴若1≥f（x₀）＞x₀≥0，则f[f（x₀）]≥f（x₀），即x₀≥f（x₀）与f（x₀）＞x₀矛盾；
若0≤f（x₀）＜x₀≤1，同理可得f（x₀）≥x₀，与f（x₀）＜x₀矛盾；
∴f（x₀）=x₀，即（4）正确．
综上所述，正确的命题的序号为（1），（4）．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查推理论证、抽象思维、创新思维、反证法的综合运用，属于难题．