Question

19．在如图所示的直角三角形ABP中，已知直角边AB=2，BP=4，C、D分别为BP、AP的中点，将三角形DCP沿CD折起，使得面PBC⊥面ABCD，且PB=2，连接PB，PA得到四棱锥P-ABCD．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求二面角P-BD-C的正切值．

Answer 1

分析 （1）建立空间坐标系，气促PA，BD的向量坐标，利用向量法进行证明．
（2）利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可求二面角的正切值．

解答 （1）证明：∵PB=PC=BC=2，∴△PBC是正三角形，
取CB的中点M，则PM⊥BC，
∵面PBC⊥面ABCD，∴PM⊥面ABCD，
建立以M为坐标原点，MF，MB，MP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
∵AB=2，BP=4，C、D分别为BP、AP的中点，
∴A（2，1，0），B（0，1，0），D（1，-1，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），
则$\overrightarrow{PA}$=（2，1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BD}$=（1，-2，0），
则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{BD}$=（2，1，-$\sqrt{3}$）•（1，-2，0）=2-2=0，
则$\overrightarrow{PA}$⊥$\overrightarrow{BD}$，即PA⊥BD．
（2）平面BDC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设平面PBD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{BD}$=（1，-2，0），$\overrightarrow{BP}$=（0，-1，$\sqrt{3}$），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{x-2y=0}\\{-y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，则y=$\sqrt{3}$，x=2$\sqrt{3}$，
即$\overrightarrow{n}$=（2$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，1），
$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}$=$\frac{1}{\sqrt{12+3+1}}=\frac{1}{\sqrt{16}}$=$\frac{1}{4}$，
则sin＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\sqrt{1-（\frac{1}{4}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{15}{16}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
在tan＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{4}}$=$\sqrt{15}$．

点评 本题主要考查直线垂直的判定以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．