Question

1．数列{a_n}满足下列关系：a₁=2a，a_n+1=2a-$\frac{{a}^{2}}{{a}_{n}}$，a≠0，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 a₁=2a，a_n+1=2a-$\frac{{a}^{2}}{{a}_{n}}$，a≠0，可得a₂=$\frac{3}{2}$a，a₃=$\frac{4}{3}$a，…，猜想a_n=$\frac{n+1}{n}$a．利用数学归纳法证明即可．

解答 解：∵a₁=2a，a_n+1=2a-$\frac{{a}^{2}}{{a}_{n}}$，a≠0，
∴a₂=$\frac{3}{2}$a，a₃=$\frac{4}{3}$a，…，
猜想a_n=$\frac{n+1}{n}$a．
下面利用数学归纳法证明：（1）n=1时，a₁=2a成立．
（2）假设n=k∈N^*时，a_k=$\frac{k+1}{k}$a．
则n=k+1时，a_k+1=2a-$\frac{{a}^{2}}{\frac{k+1}{k}a}$=$\frac{k+2}{k+1}$a，也成立．
∴对于n=k+1时，猜想成立．
由（1）（2）可知：对于n∈N^*时，猜想成立．

点评 本题考查了数列递推关系、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．