Question

14．若x∈[2，4]，求函数$f（x）={（{{{log}_{\frac{1}{4}}}x}）^2}-{log_{\frac{1}{4}}}$x+5的最大值．

Answer 1

分析 令t=$lo{g}_{\frac{1}{4}}x$（2≤x≤4），可得-1≤t≤-$\frac{1}{2}$，则y=t²-t+5，求出对称轴，判断单调性，计算即可得到最大值．

解答 解：令$t={log_{\frac{1}{4}}}x，x∈[{2，4}]∴t∈[{-1，-\frac{1}{2}}]$，
即求$y={t^2}-t+5，t∈[{-1，-\frac{1}{2}}]$的最大值，
由函数的图象为开口向上的抛物线且对称轴为$t=\frac{1}{2}$，
由$y在[{-1，-\frac{1}{2}}]上单调递减$，可得y_max=f（-1）=7．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用二次函数的单调性，同时考查对数的运算性质，属于中档题．