Question

（2010•湖北模拟）已知a∈R，函数f（x）=

x2+1

-ax，x∈[0，+∞）
（1）若f（x）是单调函数，求a的取值范围．
（2）若f（x）的值域为（0，1]，求a的值．

Answer 1

分析：（1）先求出导函数f′（x）=

x

x2+1

-a，然后求出当x∈（0，+∞）时f′（x）的取值范围，然后根据函数的单调性与导数符号的关系建立不等关系解之即可；
（2）讨论a，若a≤0则根据单调性求出f（x）的值域进行判定，若a＞1时求出f（x）的值域进行判定，若a=1，则

lim

n→∞

f（x）=

lim

n→∞

（

x2+1

-x）=

lim

n→∞

1

x2+1 +x

=0，从而f（x）的值域是（0，1]符合题意，若0＜a＜1，则在x∈（0，+∞）内，讨论函数的单调性可求出函数f（x）的值域进行判定，从而得到结论．

解答：解：（1）f′（x）=

x

x2+1

-a．当x∈（0，+∞）时，0＜

x

x2+1

＜1，（2分）
f′（x）的取值范围是（-a，1-a）．
f（x）为增函数当且仅当-a≥0，即a≤0；    （4分）
f（x）为减函数当且仅当1-a≤0，即a≥1．
所以，使得f（x）是单调函数的a的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）      （6分）
（2）①若a≤0则由（1）f（x）单增，
f（x）＞f（10）=1，当x∈（0，+∞）时，
f（x）的值域不是（0，1]．                             （7分）
②若a≥1则由（1）f（x）单调递减，其中f（0）=1
（i）若a＞1，则由f（x）=0，
得x=

1

a2-1

．当x∈（

1

a2-1

，+∞）时，
f（x）＜f（

1

a2-1

）=0，f（x）的值域不是（0，1]（8分）
（ii）若a=1，则

lim

n→∞

f（x）=

lim

n→∞

（

x2+1

-x）=

lim

n→∞

1

x2+1 +x

=0
f（x）的值域是（0，1]（10分）
③若0＜a＜1，则在x∈（0，+∞）内，
由f′（x）＜0，得0＜x＜

a

1-a2

．f（x）在（0，

a

1-a2

）单调递减，
由f′（x）＞0，得x＞

a

1-a2

，f（x）在（

a

1- a2

，+∞）单调递增．
由f（x）=1，得x=

2a

1-a2

=

a

1-a2

×

2

1-a2

＞

a

1-a2

，
所以，当x∈（

2a

1-a2

，+∞）时，f（x）＞f（

2a

1-a2

）=1
此时，f（x）的值域不是（0，1]（12分）
综上，使得f（x）的值域为（0，1]的a的值为1．（13分）

点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及函数单调性的判断与证明，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．