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函数f(x)=x3+ax2+bx+c,过曲线y=f(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为y=3x+1;
(1)若y=f(x)在x=-2时有极值,求f(x)的表达式;
(2)在(1)的条件下,求y=f(x)在[-3,1]上的最大值;
(3)若函数y=f(x)在区间[-2,1]上单调递增,求b的取值范围。
解:(1)由
求导数,得
过y=f(x)上点 P(1,f(1))的切线方程为

而过y=f(x)上点P(1,f(1))的切线方程为y=3x+1,
,即
∵y=f(x)在x=-2时有极值,
=0,∴-4a+b=-12, ③
由①②③式,联立解得a=2,b=-4,c=5,

(2)
见下表:



∴f(x)在[-3,1]上最大值为13。
(3)y=f(x)在区间 [-2,1]上单调递增,
,由(1)知2a+b=0,
∴ 依题意在[-2,1]上恒有,即在[-2,1]上恒成立,
①当时,,∴b≥6;
②当时,,∴
③当时,,∴0≤b≤6;
综合上述讨论可知,所求参数b取值范围是:b≥0。
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设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合:“①方程f(x)-x=0有实数根;②函数f(x)的导数f'(x)满足0<f'(x)<1.”
(1)判断函数f(x)=
x
3
+
cosx
4
是否是集合M中的元素,并说明理由;
(2)集合M中的元素f(x)具有下面的性质:若f(x)的定义域为D,则对于任意[m,n]30D,都存在-15P[m,n],使得等式f(n)-f(m)=(n-m)f'(x0)成立”,试用这一性质证明:方程f(x)-x=0只有一个实数根;
(3)设
1
5
是方程f(x)-x=0的实数根,求证:对于f(x)定义域中任意的x2,x3,当|x2-x1|<1,且|x3-x1|<1时,|f(x3)-f(x2)|<2.

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3
2
x2+3x-
1
4
,则它的对称中心为
(
1
2
,1)
(
1
2
,1)
;计算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)
=
2012
2012

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已知函数f(x)=-x3+
1
2
ax2+b

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5
2
,求y=f(x)的解析式并确定其单调区间;
(2)当x∈(0,1]时,若y=f(x)的图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ,求当0≤θ≤
π
4
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43
)x+6
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x3(ax-1)ax+1
(a>0,a≠1)
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