【题目】已知函数
求证:(1)
(2)对,若
,
=1,求证:
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】试题分析:
(1)利用函数的单调性结合函数的定义域即可证得结论;
(2)结合题意利用数学归纳法证明结论即可.
试题解析:
⑴x>0时,=x
0,f(x)单调增,f(x)
f(0)=0
⑵①
=
, x1=1
>1,
>0对任意n成立;
又⑴知f()
0
-1<
,从而
<
,
,数列{
}单调减,
②下面用数学归纳法证明
当n=1时,=1>
,命题成立
假设n=k时,命题成立,即
要证>
,只要证明
,只要证明
>
设g(x)=,
=
=-
>0在x>0上成立,
故g(x)在x>0上单调增,,g(
)=
>g(
),
只要证明g()=
>
=
,设
≥
=t>0,
只要证明,只要证明
-1>t
设-1-t
=h(t),t>0,
=
>0在t>0时恒成立,
h(t)单调增,h(t)>h(0)=0, -1>t
成立。从而对n=k+1,不等式仍然成立
总之,成立
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线在平面直角坐标系
下的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求曲线的普通方程及极坐标方程;
(2)直线的极坐标方程是
,射线
:
与曲线
交于点
与直线
交于点
,求线段
的长.
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【题目】如图,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,PA=AB=BC,AD=2AB,点M,N分别在PB,PC上,且MN∥BC.
(1)证明:平面AMN⊥平面PBA;
(2)若M为PB的中点,求二面角M﹣AC﹣D的余弦值.
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【题目】某研究所设计了一款智能机器人,为了检验设计方案中机器人动作完成情况,现委托某工厂生产个机器人模型,并对生产的机器人进行编号:
,采用系统抽样的方法抽取一个容量为
的机器人样本,试验小组对
个机器人样本的动作个数进行分组,频率分布直方图及频率分布表中的部分数据如图所示,请据此回答如下问题:
分组 | 机器人数 | 频率 |
0.08 | ||
10 | ||
10 | ||
6 |
(1)补全频率分布表,画出频率分布直方图;
(2)若随机抽的第一个号码为,这
个机器人分别放在
三个房间,从
到
在
房间,从
到
在
房间,从
到
在
房间,求
房间被抽中的人数是多少?
(3)从动作个数不低于的机器人中随机选取
个机器人,该
个机器人中动作个数不低于
的机器人记为
,求
的分布列与数学期望.
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【题目】下列不等关系正确的是( )
A.( )
<34<(
)﹣2
B.( )﹣2<(
)
<34
C.(2.5)0<( )2.5<22.5
D.( )2.5<(2.5)0<22.5
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【题目】已知椭圆中,
是椭圆的左、右焦点,过
作直线
交椭圆于
两点,若
的周长为8,离心率为
.
(1)求椭圆方程;
(2)若弦的斜率不为0,且它的中垂线与
轴交于
,求
的纵坐标的范围;
(3)是否在轴上存在点
,使得
轴平分
?若存在,求出
的值,若不存在,请说明理由.
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【题目】设函数f(x)= ,且f(﹣2)=3,f(﹣1)=f(1).
( I)求f(x)的解析式;
( II)画出f(x)的图象(不写过程)并求其值域.
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【题目】某商场举行抽奖活动,规则如下:甲箱子里装有3个白球和2个黑球,乙箱子里装有1个白球和3个黑球,这些球除颜色外完全相同;每次抽奖都从这两个箱子里各随机地摸出2个球,若摸出的白球个数不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)
(1)在一次游戏中,求获奖的概率;
(2)在三次游戏中,记获奖次数为随机变量X,求X的分布列及期望.
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