Question

【题目】已知椭圆中， 是椭圆的左、右焦点，过作直线交椭圆于两点，若的周长为8，离心率为.

（1）求椭圆方程；

（2）若弦的斜率不为0，且它的中垂线与轴交于，求的纵坐标的范围；

（3）是否在轴上存在点，使得轴平分？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）;(3)见解析.

【解析】试题分析：（1）由椭圆的性质可知： 及 ，即可求得 和 的值，即可求得椭圆的方程；（2）当 不存在时， 为原点， ，当 存在时，将直线方程代入椭圆方程，求得关于 的一元二次方程，利用韦达定理求得 及 ，根据中点坐标公式，求得点点 坐标，求得直线 方程，令 ，即可求得的纵坐标的范围；（3）假设存在，由轴平分 可得， ，由（2）可知，代入即可求得的值.

试题解析：（1）依题意得，解得，所以方程为，

当不存在时， 为原点.，当存在时，由，

则，（*）

设弦的中点为，则，

则，令x=0，有，

综上所述，Q的纵坐标的范围为，

（2）存在m=4.假设存在m，由x轴平分可得，

即，

有，将（*）式代入有，解得