Question

13．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）在抛物线y=$\frac{3}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x上，各项都为正数的等比数列{b_n}满足b₂=$\frac{1}{4}$，b₄=$\frac{1}{16}$．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记C_n=a${\;}_{{a}_{n}}$+b${\;}_{{a}_{n}}$，求数列{C_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）由${S_n}=\frac{3}{2}{n^2}+\frac{1}{2}n$，推导出a₁=S₁=2，a_n=S_n-S_n-1=3n-1．由各项都为正数的等比数列{b_n}满足${b}_{2}=\frac{1}{4}$，${b}_{4}=\frac{1}{16}$，求出首项和公比，由此能求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
（Ⅱ） 先求出C_n=9n-4+（$\frac{1}{2}$）^3n-1，由此利用分组求和法能求出数列{C_n}的前n项和T_n．

解答 解：（I）${S_n}=\frac{3}{2}{n^2}+\frac{1}{2}n$，当n=1时，a₁=S₁=2，
当n≥2时，S_n-1=$\frac{3}{2}$（n-1）²+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{3}{2}{n}^{2}-\frac{5}{2}n+1$，
∴a_n=S_n-S_n-1=3n-1．
∴数列{a_n}是首项为2，公差为3的等差数列，
∴a_n=3n-1．…（3分）
又各项都为正数的等比数列{b_n}满足${b}_{2}=\frac{1}{4}$，${b}_{4}=\frac{1}{16}$，
解得${b}_{1}=\frac{1}{2}，q=\frac{1}{2}$，∴b_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ．…（6分）
（Ⅱ）∵${a}_{n}=2n-1，{b}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴C_n=a${\;}_{{a}_{n}}$+b${\;}_{{a}_{n}}$=a_3n-1+b_3n-1
=3（3n-1）-1+（$\frac{1}{2}$）^3n-1
=9n-4+（$\frac{1}{2}$）^3n-1，
∴数列{C_n}的前n项和：
T_n=9（1+2+3+…+n）-4n+2×（$\frac{1}{8}$）ⁿ
=9×$\frac{n（1+n）}{2}$-4n+2×$\frac{\frac{1}{8}（1-\frac{1}{{8}^{n}}）}{1-\frac{1}{8}}$
=$\frac{n（9n+1）}{2}$-$\frac{2}{7}×\frac{1}{{8}^{n}}$+$\frac{2}{7}$．…（12分）

点评 本题考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质和分组求和法的合理运用．