Question

1．已知抛物线C：x²=3y上两点A，B的横坐标恰是方程x²+5x+1=0的两个实根，则直线AB的方程是y=-$\frac{5}{3}$x-$\frac{1}{3}$，弦AB中点到抛物线C的准线距离为$\frac{55}{12}$．

Answer 1

分析 设AB方程为y=kx+b，与抛物线方程联立消去y所得方程与方程x²+5x+1=0同解，即可得出k，b，从而得出AB的方程，利用中点坐标公式求出AB的中点M的坐标，从而得出M到抛物线的准线的距离．

解答 解：设直线AB的方程为y=kx+b，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=3y}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，消去y得：x²-3kx-3b=0．
又∵A，B的横坐标恰是方程x²+5x+1=0的两个实根，
∴-3k=5，-3b=1，即k=-$\frac{5}{3}$，b=-$\frac{1}{3}$．
∴直线AB的方程为y=-$\frac{5}{3}x-\frac{1}{3}$．
设AB的中点坐标为M（x₀，y₀），则x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{5}{2}$．
∴y₀=-$\frac{5}{3}{x}_{0}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{23}{6}$．
又抛物线的准线方程为y=-$\frac{3}{4}$，
∴M到准线的距离为$\frac{23}{6}+\frac{3}{4}$=$\frac{55}{12}$．
故答案为：$y=-\frac{5}{3}x-\frac{1}{3}$，$\frac{55}{12}$

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系，属于中档题．