Question

【题目】在如图所示的直三棱柱中，，分别是，的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若,,,求直线与平面所成角的正切值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）取中点，连接，.，推导出，从而平面.

；再推导出平面，进而平面平面.由此能证明平面．（Ⅱ）取的中点，连接，，可推导出平面平面，点在平面上的射影在上，所以即为直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的正切值.

试题解析：

（Ⅰ）取中点，连接，.

在中，因为，分别为，的中点，所以,平面，平面，所以平面.

在矩形中，因为,分别为,的中点，

所以，平面，平面,所以平面.

因为，所以平面平面.

因为平面，故 平面；

（Ⅱ）因为三棱柱为直三棱柱，所以,

又，，所以平面.

因为，，所以，

又，所以为正三角形，

所以，所以.

取的中点，连接，，所以,,所以平面，

所以平面平面，点在平面上的射影在上，

所以即为直线与平面所成角.

在中，，所以.