Question

19．已知数列{a_n}满足0＜a₁≠1，且a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，（n∈N^*）．
（1）求证：a_n+1≠a_n；
（2）若a₁=$\frac{1}{3}$，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由已知条件推导出$\frac{1}{{a}_{n+1}}-1$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{{a}_{n}}-1$），从而得到a_n=$\frac{1}{1+\frac{1}{{3}^{n-1}}（\frac{1}{{a}_{1}}-1）}$，由此能证明a_n+1≠a_n．
（2）由{$\frac{1}{{a}_{n}}-1$}是公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，a₁=$\frac{1}{3}$，能过河卒子 同数列{a_n}的通项公式．

解答 （1）证明：∵数列{a_n}满足0＜a₁≠1，且a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2{a}_{n}+1}{3{a}_{n}}$=$\frac{1}{3{a}_{n}}$+$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}-1$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{{a}_{n}}-1$），
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}-1$}是公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=（$\frac{1}{{a}_{1}}-1$）$•\frac{1}{{3}^{n-1}}$，
∴a_n=$\frac{1}{1+\frac{1}{{3}^{n-1}}（\frac{1}{{a}_{1}}-1）}$，
∵0＜a₁≠1，
∴a_n+1-a_n=$\frac{1}{1+{3}^{n}（\frac{1}{{a}_{1}}-1）}$-$\frac{1}{1+{3}^{n-1}（\frac{1}{{a}_{1}}-1）}$≠0，
∴a_n+1≠a_n．
（2）解：∵a₁=$\frac{1}{3}$，
∴${a}_{n}=\frac{1}{1+\frac{1}{{3}^{n-1}}（\frac{1}{\frac{1}{3}}-1）}$=$\frac{{3}^{n-1}}{{3}^{n-1}+2}$=$\frac{{3}^{n}}{{3}^{n}+6}$．
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{{3}^{n}}{{3}^{n}+6}$．

点评 本题考查数列中各项不相等的证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．