Question

如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求点D到平面ACE的距离；
（Ⅲ）求二面角E-AC-B的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得BF⊥AE，CB⊥AE，由此能证明AE⊥平面BCE．
（Ⅱ）设D到平面ACE的距离为h，由V_D-ACE=V_E-ACD，能求出点D到平面ACE的距离．
（Ⅲ）作BO⊥AC于O，连接OF，则∠BOF=θ为所求二面角的平面角，由此能求出二面角E-AC-B的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，（1分）
∵二面角D-AB-E为直二面角，且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABE．（3分）
∴CB⊥AE，又CB∩BF=B，
∴AE⊥平面BCE．（4分）
（Ⅱ）解：过点E作EP⊥AB，交AB于点P，PE=1．（5分）
∵二面角D-AB-E为直二面角，∴EP⊥平面ABCD．（6分）
设D到平面ACE的距离为h，
∵V_D-ACE=V_E-ACD，
∴

1

3

S△ACE•h=

1

3

S△ACD•EP，（7分）
∵AE⊥平面BCE，∴AE⊥EC，
∴h=

1 2 ×2×2×1

1 2 2 × 6

=

2 3

3

，（8分）
∴点D到平面ACE的距离为

2 3

3

．（9分）
（Ⅲ）解：作BO⊥AC于O，连接OF，则∠BOF=θ为所求二面角的平面角．（10分）
且BF⊥OF，COSθ=

OF

OB

，（11分）
在等腰直角三角形ABC中，O为AC中点，
OB=0.5AC=

2

，OC=

2

，CE=

6

．（12分）
由△COF∽△CEA，知

OF

AE

=

OC

CE

，OF=

OC

CE

•AE=

6

3

，（13分）
故COSθ=

OF

OB

=

3

3

．（14分）

点评：本题考查AE⊥平面BCE的证明，考查点D到平面ACE的距离的求法，考查二面角E-AC-B的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．