Question

不等式

x+3

x+1

≤2的解集为A，不等式[x-（a+1）]（2a-x）＞0，（a＜1）的解集为B
（1）求集合A；
（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把已知不等式

x+3

x+1

≤2，右边的2移项，通分化简后得到x-1与x+1的商大于等于0，可得出x-1与x+1同号，根据不等式取解集的方法得出x的取值范围，进而确定出集合A；
（2）把不等式[x-（a+1）]（2a-x）＞0左右两边同时除以-1，不等号方向改变，然后由a小于1，比较a+1与2a的大小关系，根据不等式取解集的方法可得出不等式的解集，确定出集合B，由集合B为集合A的子集，得到集合B中的元素都属于集合A，根据不等式解集的端点列出关于a的不等式，求出不等式的解集，并根据a小于1，即可得到a的取值范围．

解答：解：（1）

x+3

x+1

≤2?

x+3-2x-2

x+1

≤0?

x-1

x+1

≥0?x＜-1或x≥1，
则A={x|x＜-1或x≥1}；
（2）[x-（a+1）]（2a-x）＞0，
变形得：[x-（a+1）]（x-2a）＜0，
∵a＜1，∴a+1＞2a，
∴不等式的解集为2a＜x＜a+1，
∴B={x|2a＜x＜a+1}，
∵B⊆A，
∴2a≥1或a+1≤-1⇒a≥

1

2

或a≤-2
又a＜1，
则a的范围是a≤-2或

1

2

≤a＜1．

点评：此题考查了其他不等式的解法，利用了转化的思想，涉及的知识有：一元二次不等式的解法，两集合的包含关系，以及集合关系中参数的取值问题，是高考中常考的题型．