Question

【题目】设{an}和{bn}是两个等差数列,记cn=max{b1-a1n,b2-a2n,…,bn-ann}(n=1,2,3,…),其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs这s个数中最大的数.

(Ⅰ)若an=n,bn=2n-1,求c1,c2,c3的值,并证明{cn}是等差数列;

(Ⅱ)证明:或者对任意正数M,存在正整数m,当n≥m时, >M;或者存在正整数m,使得cm,cm+1,cm+2,…是等差数列.

Answer 1

【答案】 (Ⅰ) 见解析;(Ⅱ) 见解析.

【解析】试题分析：(Ⅰ)读懂新定义{cn}的含义,即可求得{cn}的通项公式;

(Ⅱ)结合新定义,通过对d1的分类讨论,进而证明.

试题解析：

(Ⅰ)c1=b1-a1=1-1=0,

c2=max{b1-2a1,b2-2a2}=max{1-2×1,3-2×2}=-1,

c3=max{b1-3a1,b2-3a2,b3-3a3}=max{1-3×1,3-3×2,5-3×3}=.

当n≥3时,

(bk+1-nak+1)-(bk-nak)=(bk+1-bk)-n(ak+1-ak)=2-n<0,

所以bk-nak关于k∈N*单调递减.

所以cn=max{b1-a1n,b2-a2n,…,bn-ann}=b1-a1n=1-n.

所以对任意n≥1,cn=1-n,于是cn+1-cn=-1,

所以{cn}是等差数列.

(Ⅱ)设数列{an}和{bn}的公差分别为d1,d2,则

bk-nak=b1+(k-1)d2-[a1+(k-1)d1]n

=b1-a1n+(d2-nd1)(k-1).

所以cn=

①当d1>0时,

取正整数m>,则当n≥m时,nd1>d2,因此cn=b1-a1n.

此时,cm,cm+1,cm+2,…是等差数列.

②当d1=0时,对任意n≥1,

cn=b1-a1n+(n-1)max{d2,0}=b1-a1+(n-1)(max{d2,0}-a1).

此时,c1,c2,c3,…,cn,…是等差数列.

③当d1<0时,

当n>时,有nd1<d2.

所以

=n(-d1)+d1-a1+d2+

≥n(-d1)+d1-a1+d2-|b1-d2|.

对任意正数M,取正整数m>max{,},

故当n≥m时, >M.