Question

【题目】如图，多面体ABCDS中，面ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=a（a＞0），AB=2AD， ．

（1）求多面体ABCDS的体积；
（2）求二面角A﹣SB﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：多面体ABCCDS的体积即四棱锥S﹣ABCD的体积．

所以

（2）解：以D为原点，DS，DA，DC分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则D（0，0，0），S（ ），B（0，a，2a），A（0，a，0），B（0，a，2a），

， ，

设面SBD的一个法向量为 =（x，y，z），

则 ，取z=1，得 =（0，﹣2，1），

又∵ ，

∴设面SAB的一个法向量为 =（x，y，z），

则 ，取x=1，得 ，

设二面角A﹣SB﹣D的平面角为θ，

则cosθ= = ，

所以二面角A﹣SB﹣D的余弦值为 ．

【解析】（1）多面体ABCCDS的体积即四棱锥S﹣ABCD的体积，由此能求出结果．（2）以D为原点，DS，DA，DC分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣SB﹣D的余弦值．