Question

19．（理）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2．给出以下结论：
①$\overrightarrow{SA}$+$\overrightarrow{SB}$+$\overrightarrow{SC}$+$\overrightarrow{SD}$=$\overrightarrow{0}$；
②$\overrightarrow{SA}$+$\overrightarrow{SB}$-$\overrightarrow{SC}$-$\overrightarrow{SD}$=$\overrightarrow{0}$；
③$\overrightarrow{SA}$-$\overrightarrow{SB}$+$\overrightarrow{SC}$-$\overrightarrow{SD}$=$\overrightarrow{0}$； 
④$\overrightarrow{SA}$•$\overrightarrow{SB}$=$\overrightarrow{SC}$•$\overrightarrow{SD}$；
⑤$\overrightarrow{SA}$•$\overrightarrow{SC}$=0，
其中正确结论是（　　）

• A． ①②③
• B． ④⑤
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 由已知得$\overrightarrow{SA}$-$\overrightarrow{SB}$+$\overrightarrow{SC}$-$\overrightarrow{SD}$=$\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{BS}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{DS}$=$\overrightarrow{0}$； $\overrightarrow{SA}•\overrightarrow{SB}$=2×2×cos∠ASB，$\overrightarrow{SC}•\overrightarrow{SD}$=2×2×cos∠CSD，又∠ASB=∠CSD，从而$\overrightarrow{SA}$•$\overrightarrow{SB}$=$\overrightarrow{SC}$•$\overrightarrow{SD}$．

解答 解：∵在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2．
∴$\overrightarrow{SA}$-$\overrightarrow{SB}$+$\overrightarrow{SC}$-$\overrightarrow{SD}$=$\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{BS}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{DS}$=$\overrightarrow{0}$，故③正确，排除选项B，C；
∵$\overrightarrow{SA}•\overrightarrow{SB}$=2×2×cos∠ASB，$\overrightarrow{SC}•\overrightarrow{SD}$=2×2×cos∠CSD，
又∠ASB=∠CSD，
∴$\overrightarrow{SA}$•$\overrightarrow{SB}$=$\overrightarrow{SC}$•$\overrightarrow{SD}$，故④正确，排除选项A．
故选：D．

点评 本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间向量运算法则的合理运用．