Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+c（c为常数，n∈N^*），a₁，a₂，a₅构成公比不等于1的等比数列．记b_n=

1

anan+1

（n∈N^*）．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）设{b_n}的前n项和为R_n，是否存在正整数k，使得R_k≥2^k成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）确定a₂=1+c，a₅=1+4c，利用a₁，a₂，a₅成等比数列，求c的值；
（Ⅱ）利用裂项法求出{b_n}的前n项和为R_n，再计算出是否存在正整数k．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n+1=a_n+c，a=1，c为常数，
∴{a_n}是以1为首项，c为公差的等差数列，∴a_n=1+（n-1）c．…（2分）
∴a₂=1+c，a₅=1+4c．
又a₁，a₂，a₅成等比数列，∴（1+c）²=1+4c，
解得c=0或c=2．
当c=0时，a_n+1=a_n不合题意，舍去．∴c=2．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a_n=2n-1．…（5分）
∴bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（6分）
∴Rn=b1+b2+…+bn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．…（9分）
假设存在正整数k，使得Rk≥2k，即

k

2k+1

≥2k，
∵

k

2k+1

=

1

2+ 1 k

随k的增大而增大，∴

k

2k+1

∈[

1

3

，

1

2

)，而2^k≥2
∴不存在正整数k，使得Rk≥2k成立．…（12分）

点评：此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求出，会确定一个数列为等比数列，考查数列递推式的求解及相关计算．是一道综合题．