Question

4．设n∈R，函数f_n（x）=xⁿ|x-a|（x≠a），其中a≥0
（1）求函数f₂（x）的极值；
（2）设一直线与函数f₃（x）的图象切于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂＜a．x₁²+x₂²=1，求a的值
（3）当a=0时，数列a_k=f₀（k），k∈N₊．对任意给定的正整数n（n≥2），数列{b_n}满足$\frac{{b}_{k+1}}{{b}_{k}}=\frac{k-n}{{a}_{k+1}}$（k=1，2，…，n-1），b₁=1，求b₁+b₂+…+b_n．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，列出表格，从而求出函数的极值；
（2）当x＜a时，f₃（x）=ax³-x⁴，f₃′（x）=3ax²-4x³，运用点斜式方程求出切线方程，列出方程组化简整理即可得到x₁²+x₂²=$\frac{{a}^{2}}{2}$，解方程即可得到a；
（3）求出数列a_k=k，讨论n=2，3，4，求得b₁+b₂，b₁+b₂+b₃，b₁+b₂+b₃+b₄，再由累乘法求得b_n=（-1）^n-1•$\frac{1}{n}$，进而得到所求．

解答 解：（1）依题意，f₂（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-a{x}^{2，x＞a}}\\{a{x}^{2}-{x}^{3}，x＜a}\end{array}\right.$，
则f₂′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（3x-2a），x＞a}\\{x（2a-3x），x＜a}\end{array}\right.$，
由f₂′（x）=0得，x₁=0，x₂=$\frac{2}{3}$a＜a，
当x∈（a，+∞）时，f₂′（x）＞0，所以f₂（x）无极值；              
当x∈（-∞，a）时，列表：

x	（-∞，0）	0	（0，$\frac{2}{3}$a）	$\frac{2}{3}$a	（ $\frac{2}{3}$a，a）
f2（x）	-	0	+	0	-
f2（x）	↘	极小值0	↗	极大值	↘

所以函数f₂（x）的极小值为f₂（0）=0，极大值为f₂（$\frac{2}{3}$a）=$\frac{4}{27}$a³； 
（2）①当x＜a时，f₃（x）=ax³-x⁴，f₃′（x）=3ax²-4x³，
直线AB的方程为：y-ax₁³+x₁⁴=（3ax₁²-4x₁³）（x-x₁），
或y-ax₂³+x₂⁴=（3ax₂²-4x₂³）（x-x₂），
于是 $\left\{\begin{array}{l}{3a{{x}_{1}}^{2}-4{{x}_{1}}^{3}=3a{{x}_{2}}^{2}-4{{x}_{2}}^{3}}\\{-2a{{x}_{1}}^{3}+3{{x}_{1}}^{4}=-2a{{x}_{2}}^{3}+3{{x}_{2}}^{4}}\end{array}\right.$，即为$\left\{\begin{array}{l}{3a（{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}）=4（{{x}_{1}}^{3}-{{x}_{2}}^{3}）}\\{-2a（{{x}_{1}}^{3}-{{x}_{2}}^{3}）=-3（{{x}_{1}}^{4}-{{x}_{2}}^{4}）}\end{array}\right.$
上式两边相乘，由平方差公式可得x₁²+x₂²=$\frac{{a}^{2}}{2}$，
由x₁²+x₂²=1，即为a²=2，
解得a=$\sqrt{2}$；
（3）当a=0时，数列a_k=f₀（k）=k，
$\frac{{b}_{k+1}}{{b}_{k}}=\frac{k-n}{{a}_{k+1}}$=$\frac{k-n}{k+1}$（k=1，2，…，n-1）．
当n=2时，b2=b₁•$\frac{1-2}{2}$=-$\frac{1}{2}$，
b₁+b₂=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$；
当n=3时，b₂=b₁•$\frac{1-3}{2}$=-1，
b₃=b₂•$\frac{2-3}{3}$=$\frac{1}{3}$，
b₁+b₂+b₃=1-1+$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$；
当n=4时，b₂=b₁•$\frac{1-4}{2}$=-$\frac{3}{2}$，
b₃=b₂•$\frac{2-4}{3}$=1，
b₄=b₃•$\frac{3-4}{4}$=-$\frac{1}{4}$，
b₁+b₂+b₃+b₄=1-$\frac{3}{2}$+1-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$，
…
由b_n=b₁•$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}$•$\frac{{b}_{3}}{{b}_{2}}$…$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=1$•\frac{1-n}{2}$•$\frac{2-n}{3}$…$\frac{-1}{n}$，
可得b_n=（-1）^n-1•$\frac{1}{n}$．
则有b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{n}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查数列的递推公式和列举法的运用，考查化简和整理的运算能力，属于中档题和易错题．