Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，已知BB₁=2，AB=

2

，BC=1，∠BCC1=

π

3

（1）求证：C₁B⊥平面ABC；
（2）试在棱CC₁（不包含端点C，C₁）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证明C₁B⊥平面ABC，根据线面垂直的判定定理可知：需要证明C₁B垂直于平面ABC内的两条相交直线即可．由已知AB⊥侧面BB₁C₁C，即可得到AB⊥BC₁；在△CC₁B中，先使用余弦定理求出BC₁的长，进而再使用勾股定理得逆定理即可证得BC₁⊥BC．
（Ⅱ）由于AB⊥侧面BB₁C₁C，要在线段CC₁上找一点E，满足B₁E⊥AE，根据三垂线定理，只要E点满足B₁E⊥BE即可．若以线段BB₁为直径画圆与线段CC₁的交点（去掉点C、C₁）即可满足要求．

解答：解：（I）证明：∵AB⊥侧面BB₁C₁C，∴AB⊥BC₁．
在△BC₁C中，BC=1，CC₁=BB₁=2，∠BCC1=

π

3

，
由余弦定理得BC12=BC2+CC12-2BC•CC1COS

π

3

=12+22-2×1×2×

1

2

=3，∴BC1=

3

．
故有BC²+BC²₁=CC²₁，∴C₁B⊥BC，
 而BC∩AB=B且AB，BC?平面ABC，
∴C₁B⊥平面ABC．
（II）如图所示：以线段BB₁为直径画圆O，分别交线段CC₁于点E、C₁．
下面说明点E、C₁是上述所画的圆与线段CC₁的交点．
①∵B₁C₁=OB₁=1，∠OB1C1=

π

3

，∴△OB₁C₁是正三角形，∴OC₁=1，即点C₁在所画的圆上．
②作OK⊥CC₁，垂足为K，取EK=KC₁，则点E也在所画的圆上．
∵OE=OC₁=1，∴点E也在所画的圆上．
∵CC₁∥BB₁，∴∠OBE=∠OB1C1=

π

3

，∴△OBE是正三角形，∴EB=1，
∴EB=BC=1，又∠BCE=

π

3

，∴△BCE为正三角形，∴CE=1，即E点是线段CC₁的中点．
下面证明点E满足条件．
∵AB⊥侧面BB₁C₁C，B₁E⊥BE，据三垂线定理可得B₁E⊥AE．
故线段CC₁的中点E即是要求的点．

点评：本题综合考查了线面垂直的判定定理和性质定理及三垂线定理，深刻理解以上定理是解决问题的关键．