Question

10．已知圆O的直径AB=2，C是该圆上异于A、B的一点，P是圆O所在平面上任一点，则$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）•\overrightarrow{PC}$的最小值为$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 如图所示，延长PO到点D，使得OD=OP，则$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$=2$\overrightarrow{PD}$=2$\overrightarrow{PO}$．由于$|\overrightarrow{PO}|+|\overrightarrow{PC}|$=1，利用基本不等式的性质可得：$|\overrightarrow{PO}||\overrightarrow{PC}|$≤$\frac{1}{4}$．再利用数量积的运算性质可得：$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）•\overrightarrow{PC}$=$2\overrightarrow{PO}•\overrightarrow{PC}$≥-2$|\overrightarrow{PO}||\overrightarrow{PC}|$，即可得出．

解答 解：如图所示，
延长PO到点D，使得OD=OP，
则$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$=2$\overrightarrow{PD}$=2$\overrightarrow{PO}$．
∵$|\overrightarrow{PO}|+|\overrightarrow{PC}|$=1，
∴$1≥2\sqrt{|\overrightarrow{PO}||\overrightarrow{PC}|}$，
化为$|\overrightarrow{PO}||\overrightarrow{PC}|$≤$\frac{1}{4}$．
∴$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）•\overrightarrow{PC}$=$2\overrightarrow{PO}•\overrightarrow{PC}$≥-2$|\overrightarrow{PO}||\overrightarrow{PC}|$=-2×$\frac{1}{4}$=$-\frac{1}{2}$．
故答案为：-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了向量的平行四边形法则、数量积运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．