Question

已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．

Answer 1

 (1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，

由题意解得a²＝16，b²＝12.

所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)设P(x，y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为＋＝1，故－4≤x≤4.

因为＝(x－m，y)，所以||²＝(x－m)²＋y²

＝(x－m)²＋12×.

＝x²－2mx＋m²＋12＝(x－4m)²＋12－3m².

因为当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，

即当x＝4时，||²取得最小值．而x∈[－4,4]，

故有4m≥4，解得m≥1.

又点M在椭圆的长轴上，即－4≤m≤4.

故实数m的取值范围是m∈[1,4]．