【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若函数在
有两个零点,求m的取值范围.
【答案】(1)答案不唯一,具体见解析(2)
【解析】
(1)首先求出函数的导函数因式分解为,再对参数
分类讨论可得;
(2)依题意可得,当
函数在定义域上单调递增,不满足条件;
当时,由(1)得
在
为增函数,因为
,
.再对
,
,
三种情况讨论可得.
解:(1)因为,所以
,
即.
由,得
,
.
①当时,
,当且仅当
时,等号成立.
故在
为增函数.
②当时,
,
由得
或
,由
得
;
所以在
,
为增函数,在
为减函数.
③当时,
,
由得
或
,由
得
;
所以在
,
为增函数,在
为减函数.
综上,当时,
在为
增函数;
当时,
在
,
为增函数,在
为减函数;
当时,
在
,
为增函数,在
为减函数.
(2)因为,所以
,
①当时,
,
在
为增函数,所以
在
至多一个零点.
②当时,由(1)得
在
为增函数.
因为,
.
(ⅰ)当时,
,
时,
,
时,
;
所以在
为减函数,在
为增函数,
.
故在
有且只有一个零点.
(ⅱ)当时,
,
,
,使得
,
且在
为减函数,在
为增函数.
所以,又
,
根据零点存在性定理,在
有且只有一个零点.
又在
上有且只有一个零点0.
故当时,
在
有两个零点.
(ⅲ)当时,
,
,
,使得
,
且在
为减函数,在
为增函数.
因为在
有且只有一个零点0,
若在
有两个零点,则
在
有且只有一个零点.
又,所以
即
,所以
,
即当时
在
有两个零点.
综上,m的取值范围为
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【题目】已知抛物线E:(
)的焦点为F,圆C:
,点
为抛物线上一动点.当
时,
的面积为
.
(1)求抛物线E的方程;
(2)若,过点P作圆C的两条切线分别交y轴于M,N两点,求
面积的最小值.
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【题目】已知函数.
(Ⅰ)若曲线在点
处的切线与x轴平行,求a的值;
(Ⅱ)若在
处取得极大值,求a的取值范围;
(Ⅲ)当a=2时,若函数有3个零点,求m的取值范围.(只需写出结论)
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【题目】已知抛物线的焦点为
,
,
是抛物线上关于
轴对称的两点,点
是抛物线准线
与
轴的交点,
是面积为4的直角三角形.
(1)求抛物线的方程;
(2)若为抛物线上异于原点的任意一点,过
作
的垂线交准线
于点
,则直线
与抛物线是何种位置关系?请说明理由.
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【题目】已知一个口袋有m个白球,n个黑球(m,n
,n
2),这些球除颜色外全部相同。现将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,……,m+n的抽屉内,其中第k次取球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,……,m+n).
(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;
(2)随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(x)是x的数学期望,证明
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【题目】记是定义在
上且满足如下条件的函数
组成的集合:
①对任意的,都有
;
②存在常数,使得对任意的
、
,都有
.
(1)设函数,
,判断函数
是否属于
?并说明理由;
(2)已知函数,求证:方程
的解至多一个;
(3)设函数,
,且
,试求实数
的取值范围.
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【题目】已知是椭圆
的两个焦点,
是椭圆
上一点,当
时,有
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设过椭圆右焦点的动直线
与椭圆交于
两点,试问在
铀上是否存在与
不重合的定点
,使得
恒成立?若存在,求出定点
的坐标,若不存在,请说明理由.
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