Question

14．已知函数y=A-Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），且y=f（x）的最大值为2，其图象相邻两条对称轴间的距离为2，并过点（1，2）．
（1）求φ；
（2）计算f（1）+f（2）+…f（2014）．

Answer 1

分析 （1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值．
（2）根据正弦函数的周期性求得要求式子的值．

解答 解：（1）已知函数y=A-Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），且y=f（x）的最大值为2，
故A+A=2，A=1．
∵f（x）的图象相邻两条对称轴间的距离为2，∴$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=2，求得ω=$\frac{π}{2}$．
又f（x）的图象过点（1，2），可得1-cos（$\frac{π}{2}$+φ）=1+sinφ=2，求得sinφ=1，
∴φ=$\frac{π}{2}$．
（2）由（1）可得f（x）=1-cos（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{2}$）=1+sin$\frac{π}{2}$x，它的最小正周期为4，
再根据f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+1+0+1=4，
∴f（1）+f（2）+…f（2014）=503×4+f（1）+f（2）=2015．

点评 本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值；正弦函数的周期性，属于中档题．